【题目】如图，空间几何体
，△
、△
、△
均是边长为2的等边三角形，平面
平面，且平面
平面，
为
中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）分别取
，
中点
，
，连接
，
，
，
，
，通过面面平行的判定定理，证得面
面
，从而证得
平面
.（2）方法一（向量法）：以点为原点，以
为
轴，以
为
轴，以
为
轴，建立空间直角坐标系，利用平面
和平面
的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为
，连接
.由此作出二面角的平面角
并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.
（1）分别取，中点，，连接，，，，
由面
面
且交于，
平面
，
有
面
由面
面且交于，
平面，
有
面
所以
,
，所以
，
由
有
，
，所以
，
,所以面面，所以
（2）
法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系
由面，所以面的法向量可取
点
,点
,点
，
,
，
设面的法向量
，所以
，取
设二面角
的平面角为
，据判断其为锐角.
法2：过点作垂线，垂足为，连接.
由（1）问可知
又因为
，所以
平面
，则有
.
所以为二面角的平面角.
由题可知
，所以
,则
所以，
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【题目】在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线与直线的直角坐标方程.
（2）直线与轴的交点为
，与曲线的交点为
，
，求
的值.
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【题目】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术；蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息，现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】如图，在四棱锥
中，
，
，
，且
，
．
（1）证明：
平面
；
（2）在线段
上，是否存在一点
，使得二面角
的大小为
？如果存在，求
的值；如果不存在，请说明理由．
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【题目】已知抛物线
的焦点为
，
轴上方的点
在抛物线上，且
，直线
与抛物线交于
，
两点（点，与
不重合），设直线
，
的斜率分别为
，
.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当
时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.
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【题目】如图，在正方体ABCD－ABCD中,平面
垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则（ ）
A. S为定值,l不为定值 B. S不为定值,l为定值
C. S与l均为定值 D. S与l均不为定值
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【题目】关于函数
（1）
是
的极小值点；
（2）函数
有且只有1个零点；
（3）
恒成立；
（4）设函数
，若存在区间
，使
在
上的值域是
，则
．
上述说法正确的序号为_______．
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【题目】设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ .
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【题目】已知函数
的最小正周期为
，其图象关于直线
对称．给出下面四个结论：①将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点
为图象的一个对称中心；③
；④在区间
上单调递增．其中正确的结论为（ ）
A.①②B.②③C.②④D.①④
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