Question

【题目】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜ 时，S为四边形
②当CQ= 时，S为等腰梯形
③当CQ= 时，S与C1D1的交点R满足C1R=
④当 ＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤
【解析】解：如图

当CQ= 时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1 ， AP=QD1= = ，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜ ，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ= 时，如图，

延长DD1至N，使D1N= ，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1 ， 可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R= ，故正确；
④由③可知当 ＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为 AC1PF= = ，故正确．
所以答案是：①②③⑤．
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．