Question

【题目】已知函数，，，令.

（1）当时，求函数的单调区间及极值；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)2.

【解析】

（1）由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得的单调递增区间为，单调递减区间为.，无极小值.

（2）法一：令，则.由导函数研究函数的最值可得的最大值为.据此计算可得整数的最小值为2.

法二：原问题等价于恒成立，令，则，由导函数研究函数的性质可得整数的最小值为2.

（1），

所以.

令得；

由得，所以的单调递增区间为.

由得，所以的单调递减区间为.

所以函数，无极小值.

（2）法一：令 .

所以

.

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为.

所以关于的不等式不能恒成立.

当时， .令得，

所以当时，；

当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为.

令，因为，，

又因为在上是减函数，所以当时，.

所以整数的最小值为2.

法二：由恒成立知恒成立，

令，则，

令，因为，

，则为增函数.

故存在，使，即，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数.

所以，

而，所以，

所以整数的最小值为2.