Question

设x，y满足约束条件

x 3a + y 4a ≤1 x≥0 y≥0

，若z=

x+2y+3

x+1

的最小值为

3

2

，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，由z=

x+2y+3

x+1

=

x+1+2(y+1)

x+1

=1+2•

y+1

x+1

，设k=

y+1

x+1

，利用k的几何意义，求出确定取得最小值的点，即可求出a的值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则z=

x+2y+3

x+1

=

x+1+2(y+1)

x+1

=1+2•

y+1

x+1

，
设k=

y+1

x+1

，则k的几何意义为动点P（x，y）到定点D（-1，-1）的斜率，
则z=1+2k，
由z=1+2k的最小值为

3

2

，
即k的最小值为

1

4

，
即直线经过排名区域的最低点A，
由

y=0 x 3a + y 4a =1

，解得

x=3a y=0

，
即A（3a，0），
此时满足

0+1

3a+1

=

1

4

，解得a=1，
故答案为：1．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及直线斜率的定义，通过数形结合是解决本题的关键．