Question

【题目】已知抛物线，圆，圆心到抛物线准线的距离为3，点是抛物线在第一象限上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆心到抛物线准线的距离为3，即可得到抛物线的方程；

（Ⅱ）由题意可设切线方程为：，进而得到切线与x轴的交点为，由圆心到切线方程的距离为半径，得到，由韦达定理，可得到的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.

试题解析：（Ⅰ）由题知，所以抛物线方程为：．

（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，

所以切线与x轴的交点为，

圆心(2，0)到切线的距离为，

∴，

整理得：．

设两条切线的斜率分别为，

则，

∴

记，则．

∵，∴在上单增，

∴，∴，

∴面积的最小值为．