Question

【题目】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．

详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）设t=f（x），则g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的图象知，①当0＜a＜1时，方程g（t）=a有两个根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的图象知，当-4＜t1＜-3时，t=f（x）有0个根，当-4＜t2＜-2时，t=f（x）有0个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0个根，②当a=1时，方程g（t）=a有两个根t1=-3，或t2=，由t=f（x）的图象知，当t1=-3时，t=f（x）有0个根，当t2=时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3个根，③当1＜a＜时，方程g（t）=a有两个根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t=f（x）的图象知，当0＜t1＜时，t=f（x）有3个根，当＜t2＜1时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根，当a=由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是