Question

【题目】已知椭圆：与轴的正半轴相交于点，点为椭圆的焦点，且是边长为2的等边三角形，若直线与椭圆交于不同的两点．

（1）直线的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：第1)由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想,将用,表示,也就是用表示,最终化出定值;

(2)将面积用表示,化为关于的函数,用基本不等式求最值.

试题解析：（1）因为是边长为2的等边三角形，

所以，，，所以，

所以椭圆：，点.

将直线代入椭圆的方程，

整理得：，（*）

设，则由（*）式可得

，

所以，，，

所以直线的斜率之积

所以直线的斜率之积是定值.

（2）记直线与轴的交点为，

则

当且仅当，即时等号成立.

所以的面积的最大值为.

点晴：本题主要考查椭圆基本量的计算,直线与椭圆相交中的定值、最值问题,考查转化能力、计算能力.第(1)问由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想,将用,表示,也就是用表示,最终化出定值;第(2)问将面积用表示,化为关于的函数,用基本不等式求最值.