Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

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与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=-

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与x=1时都取得极值，所以得到f′（-

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）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范围即可．

解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(- 2 3 )= 12 9 - 4 3 a+b=0 f′(1)=3+2a+b=0

解得，

a=- 1 2 b=-2

f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），递减区间是（-

2

3

，1）．
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1， 2]，
当x=-

2

3

时，f（x）=

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+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c²对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取到的条件．