Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）当a=-

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3

时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，然后将a的值代入，根据导函数大于0时原函数单调增，导函数小于0时原函数单调减，可判断函数的单调性．
（2）根据（1）中的导函数，可判断x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根，进而得到函数由极值的充要条件，求出a的范围．

解答：解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
当a=-

10

3

时，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x₁=0，x₂=

1

2

，x₃=2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），（

1

2

，2）内是减函数．

（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，即有△=9a²-64≤0．
解此不等式，得-

8

3

≤a≤

8

3

．
这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是[-

8

3

，

8

3

]．

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中，是高考的热点问题，每年必考要给予重视．