【题目】已知抛物线=
的焦点
为坐标原点,
是抛物线
上异于
的两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线的斜率之积为
,求证:直线
过
轴上一定点.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:本题主要考查抛物线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的方程与斜率,考查了定点问题.(1)由抛物线的焦点坐标可得p的值,即可得抛物线方程;(2)分直线的斜率存在与不存在两种情况,结合直线的斜率之积为
进行讨论.
试题解析:
(1)因为抛物线的焦点坐标为
,
所以,所以
,
所以抛物线的方程为
.
(2)证明:①当直线的斜率不存在时,
设.
因为直线的斜率之积为
,
所以=
,化简得
,
所以,此时直线
的方程为
.
②当直线的斜率存在时,
设其方程为=
,
联立方程组消去
,
得,
根据根与系数的关系得,因为直线
的斜率之积为
,
所以=
,即
,即
,
解得 (舍去)或
,
所以=
=
,即
,
所以,即
,
综上所述,直线过定点
.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点的直线
,与该椭圆交于
两点,直线
的斜率依次为
,满足
,试问:当
变化时,
是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象.求y=g(x)在区间[0,10π]上零点的个数.
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【题目】设椭圆 1(a>
)的右焦点为F,右顶点为A,已知
,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.
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【题目】如图,平面与平面
交于直线
是平面
内不同的两点,
是平面
内不同的两点,且
不在直线
上,
分别是线段
的中点,下列命题中正确的个数为( )
①若与
相交,且直线
平行于
时,则直线
与
也平行;
②若是异面直线时,则直线
可能与
平行;
③若是异面直线时,则不存在异于
的直线同时与直线
都相交;
④两点可能重合,但此时直线
与
不可能相交
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知抛物线,点M(m, 0)在x轴的正半轴上,过M点的直线
与抛物线 C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1) 若m=l,且直线的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(2) 是否存在定点M,使得不论直线绕点M如何转动,
恒为定值?
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【题目】已知圆C1:x2+y2-4x-2y-5=0与圆C2:x2+y2-6x-y-9=0.
(1)求证:两圆相交;(2)求两圆公共弦所在的直线方程;
(3)在平面上找一点P,过P点引两圆的切线并使它们的长都等于.
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABNCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G为BC的中点.
(1)求证:FG∥平面BED;
(2)求证:平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
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