Question

设函数f（x）=sin（2x+?）（0＜?＜π），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=

π

8

（Ⅰ）求?；                     
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值；
（Ⅳ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（

π

8

）=sin（

π

4

+?）=±1，再由0＜?＜π，可得?的值．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=sin（2x+

π

4

），令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（Ⅲ）由于x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．
（Ⅳ）由x∈[0，π]，可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f（

π

8

）=sin（

π

4

+?）=±1，再由0＜?＜π，可得?=

π

4

．
（Ⅱ）由以上可得函数f（x）=sin（2x+

π

4

），令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
求得 kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，故函数的减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，故当2x+

π

4

=

π

2

时，函数取得最大值为1；当 2x+

π

4

=

5π

4

 时，函数取得最小值为-

2

2

．
求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值与最小值；
（Ⅳ）∵x∈[0，π]，可得2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，列表表如下：

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
y	2 2	1	0	-1	0	2 2

点评：本题主要考查复合三角函数的对称性、单调性，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，属于中档题．