Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，F为椭圆的右焦点，M、N两点在椭圆C上，且＝λ(λ＞0)，定点A(－4，0)．

(1)求证：当λ＝1时，⊥；

(2)若当λ＝1时，有·＝，求椭圆C的方程．.

 

Answer 1

（1）见解析（2）＝1

【解析】(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c，0)，则＝(c－x1，－y1)，＝(x2－c，y2)．当λ＝1时，＝，∴－y1＝y2，x1＋x2＝2c.∵M、N两点在椭圆C上，∴＝a2，＝a2，∴＝.若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c(舍去)，∴x1＝x2，∴＝(0，2y2)，＝(c＋4，0)，∴·＝0，∴⊥.

(2)【解析】
当λ＝1时，由(1)知x1＝x2＝c，

∴M，N，∴＝，＝，

∴·＝(c＋4)2－＝.(*)

∵＝，∴a2＝c2，b2＝，代入(*)式得c2＋8c＋16＝，∴c＝2或c＝－(舍去)．∴a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为＝1