Question

已知定点F(0，1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值．

 

Answer 1

（1）x2＝4y（2）16

【解析】(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，

∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x2＝4y.

(2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.

记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为，

·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)

＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4

＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4＝4＋8.

∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．

∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.