Question

【题目】是否存在互不相同的质数p、q、r、s，使得它们的和为640，且和都是完全平方数？若存在，求p、q、r、s的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由p+q+r+s=640，且p、q、r、s是互不相同的质数，知p、q、r、s都是奇数.

设

不妨再设s＜r，则m＜n.

由式①、②得

若m-p＞1，则由m-p＜n-p＜n+p，得m＋p＝g＝n-P.

从而，s＝m-p，r＝n＋p

故p＋q＋r＋s＝p＋q＋2q＝p＋3q＝640.

又由于s＝m-p＝q-2p≥3，故p≤90.

逐一令p为不大于90的质数加以验证便知此时无解.

若m-p＝1，则

而q＜m＋p＜n＋p，故g＝n-P，r＝n＋p＝2p＋q.

p＋q＋r＋s＝3p＋2q＋s

=.

.

.

.

综上，p＝167，q＝67，r＝401，s＝5或p＝167，q＝67，r＝5，s＝401.