Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式确定首项，再写一式，两式相减，即可得到结论；
（2）利用裂项法可求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，结合

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，即可求p的取值范围，求p的取值范围．

解答：解：（1）当n=1时，2pS₁=a₁²+pa₁，∴a₁=p，
∵2pS_n=a_n²+pa_n，∴n≥2时，2pS_n-1=a_n-1²+pa_n-1，
两式相减可得p（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=p
∴数列{a_n}是首项和公差都为p的等差数列
∴a_n=np；
（2）由（1）知Sn=

n(p+np)

2

，∴

1

Sn

=

2

p

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

p

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

p

(1-

1

n+1

)=

2

p

•

n

n+1

∵对任意n∈N^*都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，
∴

2

p

•

n

n+1

＜1
∴

n

n+1

＜

p

2

∵

n

n+1

＜1
∴

p

2

≥1，即p≥2．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法的运用，属于中档题．