Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值；
（Ⅲ）在△ABC中，若A＜B，f(A)=f(B)=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

（Ⅰ）f(

π

4

)=

3

sin2

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

1

2

．（4分）
（Ⅱ）f(x)=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．（6分）
∵0＜x＜

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．∴当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1．（8分）
（Ⅲ）∵f(x)=sin(2x-

π

3

)，
若x是三角形的内角，则0＜x＜π，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

5π

3

．
令f(x)=

1

2

，得sin(2x-

π

3

)=

1

2

，
∴2x-

π

3

=

π

6

或2x-

π

3

=

5π

6

，
解得x=

π

4

或x=

7π

12

．（10分）
由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f(A)=f(B)=

1

2

，
∴A=

π

4

，B=

7π

12

，
∴C=π-A-B=

π

6

．（11分）
又由正弦定理，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2 2

1 2

=

2

．（13分）