Question

5．过M（-1，0）作斜率为k的直线l，交抛物线m：y²=4x于P₁，P₂两点，若P为弦P₁P₂中点，直线PF（F为焦点）的斜率为k′，设$\frac{k′}{k}$=f（k），求f（k）的解析式，并求其定义域和单调区间．

Answer 1

分析 设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程，根据△＞0及k≠0求得f（k）的定义域，由韦达定理求得x₁+x₂，直线l的斜率k=$\frac{b}{a+1}$，直线PF的斜率为k′=$\frac{b}{a-1}$，f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$，求得a的值，代入即可求得f（x）的解析式，求导，令f′（k）＜0及f′（k）＞0，求得函数单调区间．

解答 解：由已知条件可知，直线l方程：y=k（x+1），l与抛物线的两个交点P₁与P₂的横坐标分别为x₁和x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
整理得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴直线l与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k²-4）²-4k²•k²＞0且k≠0．
解得：k∈（-1，0）∪（0，1），
设点P的坐标为（a，b），
则直线l的斜率k=$\frac{b}{a+1}$，直线PF的斜率为k′=$\frac{b}{a-1}$，
∴f（k）=$\frac{a+1}{a-1}$，
∴a=$\frac{2-{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴f（k）=$\frac{1}{1-{k}^{2}}$，（k∈（-1，0）∪（0，1）），
f′（k）=$\frac{2k}{（1-{k}^{2}）^{2}}$，
当k∈（-1，0），f′（k）＜0，函数单调递减，
当k∈（0，1），f′（k）＞0，函数单调递增，
f（k）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（-1，0）．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与抛物线的综合问题，韦达定理，利用导函数求函数的单调区间，属于中档题．