Question

19．已知关于x的不等式$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+2}{{x}^{2}+x+2}$＜2对x∈R恒成立的条件是a∈（m，n），则m+n=2．

Answer 1

分析 对式子变形得$\frac{ax}{{x}^{2}+x+2}$＜1即x²-（a-1）x+2＞0恒成立，利用二次函数的性质可求出a的取值范围．

解答 解：∵$\frac{{x}^{2}+（a+1）x+2}{{x}^{2}+x+2}$＜2
∴1+$\frac{ax}{{x}^{2}+x+2}$＜2
∴$\frac{ax}{{x}^{2}+x+2}$＜1
∴ax＜x²+x+2
∴x²-（a-1）x+2＞0恒成立
∴△=（a-1）²-4＜0
∴1-2$\sqrt{2}$＜a＜1+2$\sqrt{2}$
∴m+n=2

点评 考察了式子的变形和二次函数的性质．