Question

11．已知函数y=1-3^x+a•9^x在（-∞，1）上恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 通过换元，把函数转化为二次函数f（t）=1-t+at²，利用二次函数的性质和图象，通过对a的分类讨论解决问题．

解答 解：令t=3^x，t∈（0，3）
∴f（t）=1-t+at²
=at²-t+1
=a（t-$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$，
显然f（0）=1；
当a=0时，f（t）=-t+1显然不成立；
当a＞0时，
若△＜0，则1-4a＜0，
∴a＞$\frac{1}{4}$；
若△≥0，则：
$\frac{1}{2a}$＞3，
f（3）＞0，
解得知无解；
当a＜0时，则，
f（3）＞0，
解得知无解；
故a的范围为a＞$\frac{1}{4}$．

点评 考察了换元的思想和二次函数性质，难点是对参数a的分类讨论．