Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₁₀=55．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用55=$\frac{10（1+{a}_{10}）}{2}$计算可知a₁₀=10，进而可知公差d=1，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=n，通过$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$可知b_n+1-b_n=a_n=n，累加计算可知b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，S₁₀=55，
∴55=$\frac{10（1+{a}_{10}）}{2}$，即a₁₀=10，
∴公差d=$\frac{{a}_{10}-{a}_{1}}{10-1}$=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知a_n=n，
∵$\frac{{2}^{{b}_{n+1}}}{{2}^{{b}_{n}}}$=2${\;}^{{a}_{n}}$，
∴b_n+1-b_n=a_n=n，
∴b_n-b_n-1=n-1，b_n-1-b_n-2=n-2，…，b₂-b₁=1，
累加得：b_n-b₁=$\frac{n（n-1）}{2}$，
又∵b₁=1，
∴b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$=$\frac{1}{\frac{n（n-1）}{2}+1+n-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}+n-1}$}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{2（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，利用累加法、裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．