Question

18．设a、b、c、d是常数，若f（θ）=acosθ+bsinθ，g（θ）=ccosθ+dsinθ，当θ∈[0，2π]时，f（θ）、g（θ）、f（θ）+g（θ）的最大值分别为3、5、6，则ac+bd=1，f（θ）g（θ）的最大值为8．

Answer 1

分析 由辅助角公式：acosθ+bsinθ=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（θ+α），结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：f（θ）=acosθ+bsinθ=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（θ+α），
g（θ）=ccosθ+dsinθ=$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$sin（θ+β），
f（θ）+g（θ）=（a+c）cosθ+（b+d）sinθ=$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$sin（θ+γ），
即有$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=5，$\sqrt{（a+c）^{2}+（b+d）^{2}}$=6，
将前两式平方后，代入第三式，可得ac+bd=1；
f（θ）g（θ）=（acosθ+bsinθ）（ccosθ+dsinθ）=accos²θ+bdsin²θ+（bc+ad）sinθcosθ
=$\frac{ac（1+cos2θ）}{2}$+$\frac{bd（1-cos2θ）}{2}$+$\frac{bc+ad}{2}$sin2θ
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（ac-bd）cos2θ+$\frac{bc+ad}{2}$sin2θ=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（bc+ad）^{2}}$sin（2θ+φ），
当sin（2θ+φ）=1时，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（ac-bd）^{2}+（bc+ad）^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{2}{d}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{a}^{2}{d}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{9×25}$=8．
故答案为：1，8．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用辅助角公式，以及正弦函数的值域，属于中档题．