Question

13．若f（x）和g（x）分别是奇函数与偶函数，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，求f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$①结合函数奇偶性的性质，可得-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$②由①②联立方程组可求出f（x），g（x）的解析式．

解答 解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，
则f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{x-1}$，…①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{-x-1}$，
∴-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$，…②
由①②得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$．

点评 本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程-f（x）+g（x）=$\frac{1}{-x-1}$是解答本题的关键．