Question

4．已知函数f（x）=x²+1，g（x）=x+a，?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[1，2]，f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为[-1，4]．

Answer 1

分析 若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[1，2]，f（x₁）=g（x₂），则两个函数的值域交集非空，进而得到答案．

解答 解：若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[1，2]，f（x₁）=g（x₂），
则函数f（x）=x²+1，x₁∈[-1，2]的值域A，
函数g（x）=x+a，x₂∈[1，2]的值域B，
满足A∩B≠∅，
∵函数f（x）=x²+1的图象是开口朝上，且以y轴为对称轴的抛物线，
故当x=0时，函数取最小值1，当x=2时，函数取最大值5，
故A=[1，5]，
又∵g（x）=x+a为增函数，故当x=1时，函数取最小值a+1，当x=2时，函数取最大值a+2，
若A∩B=∅，则a+1＞5，或a+2＜1，
解得：a＞4，或a＜-1
故A∩B≠∅时，a∈[-1，4]，
故答案为：[-1，4]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．