Question

19．已知x、y＞0，求k=$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的最大值．

Answer 1

分析 变形可得k=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，由x²+y²≥2xy可得答案．

解答 解：由题意可得k=$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$
≤$\sqrt{1+\frac{2xy}{2xy}}$=$\sqrt{2}$，当且仅当x=y时取等号，
∴k=$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的最大值为$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．