Question

14．已知不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0对任意的x≤0恒成立，则实数a的取值范围（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由题意可得-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），由二次函数的最值的求法，结合单调性可得最大值，进而得到a的范围．

解答 解：不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0对任意的x≤0恒成立，
即为-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，
令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），则x=1-t²，
即有2x+$\sqrt{1-x}$=2-2t²+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
在[1，+∞）递减，当t=1时，取得最大值1，
即有-a≥1，解得a≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．