Question

19．已知f（x）=x²-2mx+m-5
（1）证明无论m为何值时，y=f（x）总有两个零点；
（2）当m为何值时，f（x）=0有两个正根；
（3）当m为何值时，f（x）=0一根在（-2，0），另-根在（0，4）．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的判别式大于零，证得y=f（x）总有两个零点．
（2）利用韦达定理，两根之和大于零，两根之积大于零，求得m的范围．
（3）根据$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=5m-1＞0}\\{f（0）=m-5＜0}\\{f（4）=-7m+11＞0}\end{array}\right.$，求得m的范围．

解答 解：（1）证明：对于函数 f（x）=x²-2mx+m-5，
它的判别式△=4m²-4（m-5）=4（m²-m+5）=4[${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{19}{4}$]＞0恒成立，
故y=f（x）总有两个零点．
（2）要使f（x）=0有两个正根，需$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=2m＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=m-5＞0}\end{array}\right.$，求得m＞5．
（3）要使f（x）=0一根在（-2，0），另-根在（0，4），则有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=5m-1＞0}\\{f（0）=m-5＜0}\\{f（4）=-7m+11＞0}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{5}$＜m＜$\frac{11}{7}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．