Question

13．已知函数f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，若f（$\frac{e}{2015}$）+f（$\frac{2e}{2015}$）+…f（$\frac{2014e}{2015}$）=$\frac{1007}{3}$（a+b），则a²+b²的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 12
• D． 18

Answer 1

分析 由已知函数解析式可得f（$\frac{ke}{2015}$）=ln$\frac{e•\frac{ke}{2015}}{e-\frac{ke}{2015}}$=ln$\frac{ke}{2015-k}$，则由f（$\frac{e}{2015}$）+f（$\frac{2e}{2015}$）+…f（$\frac{2014e}{2015}$）=$\frac{1007}{3}$（a+b）求得a+b=6，然后利用基本不等式求得a²+b²的最小值．

解答 解：∵f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，
∴f（$\frac{ke}{2015}$）=ln$\frac{e•\frac{ke}{2015}}{e-\frac{ke}{2015}}$=ln$\frac{ke}{2015-k}$；
∴f（$\frac{e}{2015}$）+f（$\frac{2e}{2015}$）+…f（$\frac{2014e}{2015}$）=ln$\frac{e}{2014}$+ln$\frac{2e}{2013}$+…+ln$\frac{2014e}{1}$
=ln（$\frac{e}{2014}•\frac{2e}{2013}•…•\frac{2014e}{1}$）=lne²⁰¹⁴=2014=$\frac{1007}{3}$（a+b），
∴a+b=6．
则a²+b²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≥\frac{（a+b）^{2}}{2}=\frac{36}{2}=18$．
上式当且仅当a=b时“=”成立．
∴a²+b²的最小值为18．
故选：D．

点评 本题考查对数的运算性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．