Question

13．已知函数f（x）=x²-ax+lnx，a∈R．
（1）若f（x）是单调递增函数，求a的最大值；
（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数f（x）的定义域为（0，+∞），从而求导f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，从而确定函数的单调性；
（2）可化为x²-ax+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，从而可得a＜x+$\frac{lnx}{x}$在（1，+∞）上恒成立，令y=x+$\frac{lnx}{x}$，y′=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1-lnx}{{x}^{2}}$，从而化为最值问题．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-ax+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
当a＞0时，△=a²-4×2×1≤0，
解得，0＜a≤2$\sqrt{2}$；
故a的最大值为2$\sqrt{2}$．
（2）由题意得，x²-ax+lnx＞0在（1，+∞）上恒成立，
即a＜x+$\frac{lnx}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
令y=x+$\frac{lnx}{x}$，y′=1+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1-lnx}{{x}^{2}}$，
易知y′=$\frac{{x}^{2}+1-lnx}{{x}^{2}}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
故y=x+$\frac{lnx}{x}$在[1，+∞）上是增函数，
故（x+$\frac{lnx}{x}$）_min=1，
故a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的解法．