Question

19．已知（$\frac{1}{x}$+y）（x+$\frac{a}{y}$）⁵的展开式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系数为20a，其中a≠0，则a的值为-2或1．

Answer 1

分析 把（x+$\frac{a}{y}$）⁵ 按照二项式定理展开，可得已知（$\frac{1}{x}$+y）（x+$\frac{a}{y}$）⁵的展开式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系数，再根据中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系数为20a，求得a的值．

解答 解：（$\frac{1}{x}$+y）（a+$\frac{a}{y}$）⁵=（$\frac{1}{x}$+y）（${C}_{5}^{0}$•x⁵+${C}_{5}^{1}$•x⁴•$\frac{a}{y}$+${C}_{5}^{2}$•x³•${（\frac{a}{y}）}^{2}$+${C}_{5}^{3}$•x²•${（\frac{a}{y}）}^{3}$+${C}_{5}^{4}$•ax${（\frac{a}{y}）}^{4}$+${C}_{5}^{5}$•${（\frac{a}{y}）}^{5}$），
 故（$\frac{1}{x}$+y）（a+$\frac{a}{y}$）⁵的展开式中$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$的系数为${C}_{5}^{2}$•a²+${C}_{5}^{3}$•a³=20a，
即a²+a-2=0，求得a=-2或a=1，
故答案为：-2或1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．