Question

11．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若c=2时，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，由sinA≠0，可得tanC=$\sqrt{3}$，C为三角形内角，可得C=$\frac{π}{3}$，即可求cosC的值．
（Ⅱ）由（1）可得cosC，sinC的值，利用余弦定理，基本不等式可得4≥ab，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，
∴cosB+cosAcosC-$\sqrt{3}$sinAcosC=0，
∴可得：sinAsinC=$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即：tanC=$\sqrt{3}$，C为三角形内角，可得C=$\frac{π}{3}$，可求cosC=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵c=2，由（Ⅰ）可得：cosC=$\frac{1}{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即△ABC周长的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．