Question

设数列{a_n}的前n项和S_n，已知a₁=1，等式a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*均成立．
（1）若a₄=10，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂=1+t，且存在m≥3（m∈N^*），使得a_m=S_m成立，求t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据条件可判定数列{a_n}为等差数列，然后根据条件求出公差，从而可求出数列的通项公式；
（2）根据条件求出数列的通项公式以及数列的前n项和，根据a_m=S_m成立可求得t关于m的函数，根据m的范围可求出t的取值范围．
解答：解：（1）∵a_n+a_n+2=2a_n+1对任意n∈N^*均成立
∴数列{a_n}为等差数列
设数列{a_n}公差为d
∵a₁=1，a₄=10
∴a₄=a₁+3d=10
解得d=3
∴a_n=a₁+（n-1）d=3n-2
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2
（2）∵a₂=1+t
∴d=t则a_n=1+（n-1）t，S_n=n+
由a_m=S_m得1+（m-1）t=m+
∴t=1+即t=
∵m≥3，∴t≥-2
∴t的最小值为-2
点评：本题主要考查了等差数列的概念、通项公式、数列求和等基础知识，考查了运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．