Question

【题目】已知函数f（x）=eax﹣x，其中a≠0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．
（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=eax﹣x＜1，这与题设矛盾，

∵a≠0，∴a＞0

∵f′（x）=aeax﹣1，令f′（x）=0，可得

令f′（x）＜0，可得 ，函数单调减；令f′（x）＞0，可得 ，函数单调增，

∴ 时，f（x）取最小值

∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ①

令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减

∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1

∴当且仅当 =1，即a=1时，①成立

综上所述，a的取值集合为{1}

（2）

解：由题意知，

令φ（x）=f′（x）﹣k= ，则

令F（t）=et﹣t﹣1，则F′（t）=et﹣1

当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；

∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即et﹣t﹣1＞0

∴ ，

∵ ＞0，

∴φ（x1）＜0，φ（x2）＞0

∴存在c∈（x1，x2），φ（c）=0

∵φ（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且

当且仅当x∈（ ，x2）时，f′（x）＞k

综上所述，存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＞k成立，且x0的取值范围为（ ，x2）

【解析】（1）先确定a＞0，再求导函数，确定函数的单调性，可得 时，f（x）取最小值 故对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 ，构建新函数g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，确定函数的单调性，求出函数的最大值，由此即可求得a的取值集合；（2）由题意知， ，构建新函数φ（x）=f′（x）﹣k= ，则 ， ，构建函数F（t）=et﹣t﹣1，从而可证明φ（x1）＜0，φ（x2）＞0，由此即可得到存在x0∈（x1 ， x2），使f′（x0）＞k成立．