Question

【题目】已知圆与轴交于两点，且（为圆心），过点且斜率为的直线与圆相交于两点

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，求的取值范围；

（Ⅲ）若向量与向量共线（为坐标原点），求的值

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由圆的方程得到圆心坐标和；根据、为等腰直角三角形可知，从而得到，解方程求得结果；（Ⅱ）设直线方程为；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；由垂径定理可得到，利用可构造不等式求得结果；（Ⅲ）直线方程与圆方程联立，根据直线与圆有两个交点可根据得到的取值范围；设，，利用韦达定理求得，并利用求得，即可得到；利用向量共线定理可得到关于的方程，解方程求得满足取值范围的结果.

（Ⅰ）由圆得：

圆心，

由题意知，为等腰直角三角形

设的中点为，则也为等腰直角三角形

，解得：

（Ⅱ）设直线方程为：

则圆心到直线的距离：

由，，可得：，解得：

的取值范围为：

（Ⅲ）联立直线与圆的方程：

消去变量得：

设，，由韦达定理得：

且，整理得：

解得：或

，

与向量共线， ，

解得：或

不满足