Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=

1

2

AD，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD⊥EP且AB⊥EP，从而得到 PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD；
（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量

ED

、

EP

、

PC

的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE一个法向量

n

=（1，-2，0），最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC与平面PDE所成角的正弦值为

3

5

．

解答：解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，∴AD⊥EP．
又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．
∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．
∵CD?平面ABCD，∴PE⊥CD．…（5分）
（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．

ED

=（2，1，0），

EP

=（0，0，

3

），

PC

=（1，-1，-

3

）．
设

n

=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．
由 

n • ED =2x+y=0 n • EP = 3 z=0

，令x=1，可得

n

=（1，-2，0）．…（9分）
设PC与平面PDE所成的角为θ，得
sinθ=|cos＜

PC

•

n

＞|=

| PC • n |

| PC |•| n |

=

3

5

所以PC与平面PDE所成角的正弦值为

3

5

． …（12分）

点评：本题在四棱锥中，求证异面直线相垂直并且求直线与平面所成的角，着重考查了空间直线与直线之间的位置关系判断和用空间向量求直线与平面的夹角等知识，属于中档题．