Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，且$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{4}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，利用平面向量的数量积与夹角公式，结合正弦定理，即可求出|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}×1}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{3π}{4}$．
∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{4}$，
∴点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．
因此|$\overrightarrow{c}$|的最大值为△OAB的外接圆的直径．
∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}-2×（-1）{+1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R=$\frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|}{sin\frac{3π}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{10}$，
则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为$\sqrt{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．