Question

13．如图，几何体EF-ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）求二面角B-AF-C的大小．

Answer 1

分析 （I）证明AC⊥BC．DE⊥BC．得到CF⊥BC．即可证明BC⊥平面ACF．推出BC⊥AF．
（Ⅱ）以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，平面ACF的一个法向量，设二面角B-AF-C的大小为θ，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （I）证明：因为△ACB是腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BC．
又DE∥CF，所以CF⊥BC．
又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．
所以BC⊥AF．
（Ⅱ）解：以点D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立如下图

所示的空间直角坐标系：
因为△ACB是腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
所以$AC=BC=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=4$．
所以$AD=BCsin∠ABC=2\sqrt{2}×sin{45°}=2$，$CD=AB-BCcos∠ABC=4-2\sqrt{2}×cos{45°}=2$．
所以DE=EF=CF=2．
则点A（2，0，0），F（0，2，2），C（0，2，0），B（2，4，0）．
则$\overrightarrow{AB}=（0，4，0），\overrightarrow{AF}=（-2，2，2）$．
设平面ABF的法向量为$\vec m=（x，y，z）$，则
由$\left\{\begin{array}{l}\vec m•\overrightarrow{AB}=0\\ \vec m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}（x，y，z）•（0，4，0）=0\\（x，y，z）•（-2，2，2）=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}4y=0\\-2x+2y+2z=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ z=x\end{array}\right.$
令x=1，得$\vec m=（1，0，1）$是平面ABF的一个法向量；
易知平面ACF的一个法向量$\overrightarrow{CB}=（2，2，0）$；
设二面角B-AF-C的大小为θ，则$cosθ=|{cos（\vec m，\overrightarrow{CB}）}|=|{\frac{{\vec m•\overrightarrow{CB}}}{{|{\vec m}||{\overrightarrow{CB}}|}}}|=|{\frac{（1，0，1）•（2，2，0）}{{\sqrt{2}×2\sqrt{2}}}}|=\frac{1}{2}$，
又θ∈（0°，180°），解得θ=60°．
故二面角B-AF-C的大小为60°．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．