Question

5．已知正四棱台（由正四棱锥截得的棱台叫做正四棱台）上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积和体积．

Answer 1

分析 设E，E₁分别是BC，B₁C₁的中点，O，O₁分别是下、上底面正方形的中心，则O₁O是正四棱台的高，且O₁O=12，连结OE，O₁E₁，则OE=6，O₁E₁=3，过E₁作E₁H⊥OE，垂足为H，则E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=3，${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，由此能求出该正四棱台的侧面积、体积．

解答 解：如图，E，E₁分别是BC，B₁C₁的中点，O，O₁分别是下、上底面正方形的中心，
则O₁O是正四棱台的高，则O₁O=12，
连结OE，O₁E₁，则OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×12$=6，O₁E₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=3，
过E₁作E₁H⊥OE，垂足为H，
则E₁H=O₁O=12，OH=O₁E₁=3，HE=OE-O₁E₁=6-3=3，
在Rt△E₁HE中，E₁E²=E₁H²+HE²=12²+3²=3²×4²+3²=3²×17，
∴${E}_{1}E=3\sqrt{17}$，
∴该正四棱台的侧面积为
${S}_{侧}=4×\frac{1}{2}×（{B}_{1}{C}_{1}+BC）×{E}_{1}E$=$2×（12+6）×3\sqrt{17}=108\sqrt{17}$．
S_上=6²=36，S_下=12²=144，h=12，
∴该正四棱台的体积为：
V=$\frac{h}{3}（{S}_{上}+{S}_{下}+\sqrt{{S}_{上}{S}_{下}}）$=$\frac{12}{3}（36+144+\sqrt{36×144}）$=1008．

点评 本题主要考查正四棱台的侧面积和体积的求法，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积计算等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力；考查了化归与转化及数形结合的数学思想．