Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（2，$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线l的渐近线为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过椭圆右焦点D的任一直线（不经过点P）与椭圆交于两点A，B，设直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求出λ的值若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用点$P（2，\sqrt{2}）$在椭圆上，椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．
（2）假设存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃．设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，结合A、F、B共线，通过k=k_AF=k_BF，求出k₁+k₂，然后推出k₁+k₂=2k₃．即可．

解答 解：（1）由点$P（2，\sqrt{2}）$在椭圆上得，$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$①$又e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，所以\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$②
由 ①②得c²=4，a²=8，b²=4，故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$…..（4分）
（2）假设存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃．
由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2）③
代入椭圆方程$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$④…（6分）
在方程③中，令x=4得，M（4，2k），从而${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$，${k_3}=\frac{{2k-\sqrt{2}}}{4-2}=k-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又因为A、F、B共线，则有k=k_AF=k_BF，
即有$\frac{y_1}{{{x_1}-2}}=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}=k$…（8分）
所以k₁+k₂=$\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-2}}$=$\frac{y_1}{{{x_1}-2}}+\frac{y_2}{{{x_2}-2}}-\sqrt{2}（\frac{1}{{{x_1}-2}}+\frac{1}{{{x_2}-2}}）$
=$2k-\sqrt{2}•$$\frac{{{x_1}+{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$⑤…（10分）
将④代入⑤得k₁+k₂=$2k-\sqrt{2}•$$\frac{{\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-4}}{{\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}-2•\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4}}=2k-\sqrt{2}$，又${k_3}=k-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以k₁+k₂=2k₃．故存在常数λ=2符合题意…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．