Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}-1}$
（1）用定义证明该函数在[1，+∞）上是减函数
（2）判断该函数的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性定义法证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可；
（2）由解析式求出定义域，化简f（-x）后由函数奇偶性的定义判断即可．

解答 证明：（1）任取1≤x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$-$\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$
=$\frac{2{x}_{2}{{x}_{1}}^{2}+2{x}_{2}-2{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{1}}{{{（{{x}_{1}}^{2}+1）（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）+2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{（{{x}_{1}}^{2}+1）{（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，∴1-x₁x₂＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）∵f（x）的定义域为R，f（-x）=$\frac{2（-x）}{（-x）^{2}+1}$=$-\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=-f（x），
∴f（x）为奇函数．

点评 本题考查函数单调性定义法证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，以及函数奇偶性的判断方法：定义法，注意先求出函数的定义域，考查化简、变形能力．