Question

19．在如图所示的空间几何体中，EC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，CE∥BF，且CE=2BF，G，H，P分别为AF，DE，AE的中点．求证：
（Ⅰ）GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）FP⊥平面ACE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN，证明HMNG是平行四边形，可得GH∥MN，即可证明GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）连接BD，与AC，交于O，连接OP，则OP平行且等于FB，证明BO⊥平面ACE，即可证明FP⊥平面ACE．

解答 证明：（Ⅰ）取EC中点M，FB中点N，连接HM，GN．则HM平行且等于$\frac{1}{2}$DC，GN平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∵AB∥CD，∴HM平行且等于GN，
∴HMNG是平行四边形，
∴GH∥MN，
∵GH?平面BCEF，MN?平面BCEF，
∴GH∥平面BCEF；
（Ⅱ）连接BD，与AC，交于O，连接OP，则OP平行且等于FB，
∴PFBO是平行四边形，
∴PF∥BO，
∵BO⊥AC，BO⊥PC，AC∩PC=C，
∴BO⊥平面ACE，
∴FP⊥平面ACE．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．