Question

9．已知O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}=（{2{{cos}^2}x，1}），\overrightarrow{OB}=（{1，\sqrt{3}sin2x+a}）（x∈R，a∈R，a$为常数），若$y=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
（1）求y关于x的函数解析式f（x）；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，f（x）的最大值为2，求a的值，并指出函数f（x），x∈R的单调区间．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算得出f（x）=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x+a$，化简后即可得到$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$；
（2）由x的范围可得出2x+$\frac{π}{6}$的范围，从而求出f（x）的最大值2+1+a=2，求出a的值，并可写出f（x）的单调增减区间．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$
=$2co{s}^{2}x+\sqrt{3}sin2x+a$
=$cos2x+\sqrt{3}sin2x+1+a$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1+a$
（2）当x$∈[0，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{6}$$∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$；
故f（x）_max=2+1+a=2，解得a=-1；
f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z；
单调递减区间为$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]$，k∈Z．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，以及复合函数单调区间的求法．