Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，且PA=PB=AB=4，$BC=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ） 求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则PC∥EO，由此能证明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，由V_{三棱锥A-PBD}=V_{三棱锥P-ABD}，能求出三棱锥A-PBD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点．
又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO，
又∵EO?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
解：（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，
由PA=PB得PH⊥AB，
又∵平面PAB⊥平面ABCD，
且平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PH⊥平面ABCD．
∵△PAB是边长为4的等边三角形，∴$PH=2\sqrt{3}$．
又∵${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
∴V_{三棱锥A-PBD}=V_{三棱锥P-ABD}=$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•PH=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．