Question

2．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，
（1）求证：AC⊥平面EDB；
（2）求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

分析 （1）记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，由已知可得AB⊥BC，且EF⊥BC，而EF⊥FB，由线面垂直的判定可得EF⊥平面BFC，进一步得到EF⊥FH．则AB⊥FH，再由已知可得FH⊥BC．则FH⊥平面ABCD，得到AC⊥EG．结合AC⊥BD，可得AC⊥平面EDB；
（2）由EF⊥FB，∠BFC=90°，可得BF⊥平面CDEF，求出BF=FC=$\sqrt{2}$．代入三棱锥体积公式可得求四面体B-DEF的体积．

解答 （1）证明：记AC与BD的交点为G，连接EG，GH，
由四边形ABCD是正方形，有AB⊥BC，
又EF∥AB，∴EF⊥BC，而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC，则EF⊥FH．
∴AB⊥FH，
又BF=FG，H为BC的中点，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD，则FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．
又AC⊥BD，EG∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB；
（2）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，
∴BF为四面体B-DEF的高，又BC=AB=2，
∴BF=FC=$\sqrt{2}$．
∴${V}_{B-DEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．