Question

10．已知等比数列{a_n}中，各项都是正数，且${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $3-2\sqrt{2}$
• C． $3+2\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，结合题意可得2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂，化简可得q²-2q-1=0，解可得q的值，又由$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=q²，计算q²的值即可得答案．

解答 解：根据题意，设等比数列{a_n}的公比为q，
又由${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则有2×（$\frac{1}{2}$a₃）=a₁+2a₂；
即2（a₁q²）=a₁+2a₁×q，
变形可得：q²-2q-1=0
解可得q=1+$\sqrt{3}$或q=1-$\sqrt{3}$（舍），
则$\frac{{{a_{10}}}}{a_8}$=q²=（1+$\sqrt{3}$）²=3+2$\sqrt{2}$；
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，关键是求出其公比q的值．