Question

18．若椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞b₂＞0）的焦点相同且a₁＞a₂．给出如下四个结论：
①椭圆C₁与椭圆C₂一定没有公共点        
②$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＞$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²
④a₁-a₂=b₁-b₂
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 先由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，从而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，下面从两个方面来看：一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，从而①成立；②不成立；另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²⇒（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）⇒a₁-b₁＜a₂-b₂，从而④成立；从而得出正确答案．

解答 解：由a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，从而③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²成立，
一方面：a₁＞a₂，由上得b₁＞b₂，从而①成立；
若在a₁²-a₂²=b₁²-b₂²中，a₁=2，a₂=$\sqrt{2}$，b₁=$\sqrt{3}$，b₂=1，
$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{3}$，有：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$＜$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$，
故②不成立；
另一方面：a₁²-b₁²=a₂²-b₂²，（a₁+b₁）（a₁-b₁）=（a₂+b₂）（a₂-b₂）
由于a₁+b₁＞a₂+b₂
∴a₁-b₁＜a₂-b₂，
从而④成立；
∴所有正确结论的序号是 ①③④．
故选B．

点评 本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的标准方程、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．