Question

9．已知函数f（x）=|x-4|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设f（x）的最小值为M，若2^x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=|x-4|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{6-2x．x≤2}\\{2，2＜x＜4}\\{2x-6，x≥4}\end{array}\right.$．分x≤2时，；2＜x＜4，x≥4，解f（x）＞2．
（2））由|x-4|+|x-2|≥2，得M=2，由2^x+a≥M的解集包含[0，1]，得2⁰+a≥2，2¹+a≥2

解答 解：（1）f（x）=|x-4|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{6-2x．x≤2}\\{2，2＜x＜4}\\{2x-6，x≥4}\end{array}\right.$．
∴当x≤2时，f（x）＞2，6-2x＞2，解得x＜2；
当2＜x＜4时，f（x）＞2得2＞2，无解；
当x≥4时，f（x）＞2得2x-6＞2，解得＞4．
所以不等式f（x）＞2的解集为（-∞，2）∪（4，+∞）．
（2））∵|x-4|+|x-2|≥2，∴M=2，
∵2^x+a≥M的解集包含[0，1]，
∴2⁰+a≥2，2¹+a≥2，∴a≥1．
故a的取值范围为：[1，+∞）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，及恒成立问题，属于中档题．