Question

19．设函数f（x）=ax³-bx+4（a，b∈R），当x=2时，函数f（x）有极值$-\frac{4}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f′（2）=0，f（2）=-$\frac{4}{3}$，由此列方程组可解得a，b，从而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用导数可得f（x）的单调区间及极值，根据f（x）的图象的大致形状即可求得k的范围；

解答 解：（1）函数f（x）=ax³-bx+4（a，b∈R），可得f′（x）=3ax²-b，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a-b=0}\\{f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=4，
所以所求解析式为f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4．
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
当x＜-2或x＞2时f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0；
所以当x=-2时f（x）取得极大值，f（-2）=$\frac{8}{3}$，当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=-$\frac{4}{3}$，
要使方程f（x）=k有3个解，只需-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{8}{3}$．
故实数k的取值范围为：-$\frac{4}{3}$＜k＜$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，属中档题．