Question

10．已知点O为△ABC所在平面内一点，${\overrightarrow{OA}^2}={\overrightarrow{OB}^2}={\overrightarrow{OC}^2}$，若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，且$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AO}}|$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得O为△ABC的外心，也是BC的中点，∠A=$\frac{π}{2}$，设AC=1，则BC=2，由此求得∠B的值，可得$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角的值．

解答 解：∵点O为△ABC所在平面内一点，${\overrightarrow{OA}^2}={\overrightarrow{OB}^2}={\overrightarrow{OC}^2}$，
∴O为△ABC的外心，
若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，则O也是BC的中点，
∴△ABC为直角三角形，∠A=$\frac{π}{2}$，
∵$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AO}}|$，设AC=1，则BC=2，∴AB=$\sqrt{{BC}^{2}{-AC}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为π-∠B=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求两个向量的夹角，属于基础题．