Question

8．已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2
（Ⅰ）求实数a，c的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），求出c，求出导函数，求出斜率，求出切点，然后求解即可．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过导函数的符号求解不等式得到函数的单调增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，1），
则c=1，f′（x）=4ax³+2bx，k=f′（1）=4a+2b=1，
切点为（1，-1），则f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（1，-1）
得$a+b+c=-1，得a=\frac{5}{2}，b=-\frac{9}{2}$，c=1．…（7分）
（Ⅱ）$f（x）=\frac{5}{2}{x^4}-\frac{9}{2}{x^2}+1$，${f^'}（x）=10{x^3}-9x＞0，\;\;⇒-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}＜x＜0，或x＞\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
单调递增区间为$（-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，0）$和$（\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，+∞）$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及单调区间的求法，考查计算能力．