Question

6．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为BC的中点；
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若点E为AC₁上的点，且满足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{E{C}_{1}}$（m∈R），三棱锥E-ADC的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积之比为1：12，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁C，交AC₁于F，则F为AC₁的中点，连结DF，则A₁B∥DF，由此能证明A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，设EM=h，由已知得h=$\frac{\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD}$=$\frac{3}{2}$，由此能求出实数m的值．

解答 证明：（Ⅰ）连结A₁C，交AC₁于F，则F为AC₁的中点
连结DF，则A₁B∥DF，
∵DF?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B∥平面AC₁D．
解：（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{E{C}_{1}}$，∴AE=mEC₁，
过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，设EM=h，
∵三棱锥E-ADC的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积之比为1：12，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD×h=\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}$，
解得h=$\frac{\frac{1}{12}×\frac{1}{2}×BC×AD×A{A}_{1}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×CD×AD}$=$\frac{3}{2}$，
∴当E为AC₁中点时，三棱锥E-ADC的体积与三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积之比为1：12，
∴实数m的值为1．

点评 本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．